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作業中のメモ

よく「計算機」を使って作業をする.知らなかったことを中心にまとめるつもり.

楕円が存在する領域

どうも,筆者です.

楕円を覆う領域

今回は,有限個の楕円が平面状に散らばっている状況を考える.この状況において,すべての楕円を含む長方形領域の最小値を求める問題を解く. 図で示すと以下のような長方形領域を求めることになる.

f:id:mathematicsphysical:20170416202138p:plain

領域の計算方法

計算方法として,以下のような楕円ごとの長方形の領域を考えた.

f:id:mathematicsphysical:20170416213014p:plain

この図において,楕円の方程式は,

 { \displaystyle
  \begin{equation}
    \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1
  \end{equation}
}

で与えられる.ここで, {0 \leq b \leq a} である.また,媒介変数  {\theta} を用いると,楕円上の点  {(x, y)} は,

 { \displaystyle
  \begin{equation}
    \left\{
    \begin{array}{ccc}
      x & = & a\cos{\theta}\\
      y & = & b\sin{\theta}\\
    \end{array}
    \right.
  \end{equation}
}

となる.

この時,楕円を  {\phi} だけ回転させた場合,移動後の点  {(X, Y)} は,回転行列を用いて,

 { \displaystyle
  \begin{eqnarray}
    \left(
    \begin{array}{c}
      X\\
      Y\\
    \end{array}
    \right) & = & \left(
    \begin{array}{cc}
       \cos{\phi} & \sin{\phi}\\
      -\sin{\phi} & \cos{\phi}\\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
      x\\
      y\\
    \end{array}
    \right)\\
    & = & \left(
    \begin{array}{cc}
      \cos{\phi} & \sin{\phi}\\
      -\sin{\phi} & \cos{\phi}\\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
      a\cos{\theta}\\
      b\sin{\theta}\\
    \end{array}
    \right)\\
    & = & \left(
    \begin{array}{c}
      a\cos{\phi}\cos{\theta} + b\sin{\phi}\sin{\theta}\\
      b\cos{\phi}\sin{\theta} - a\sin{\phi}\cos{\theta}\\
    \end{array}
    \right)
  \end{eqnarray}
}

となる.さらに,三角関数の合成を用いて,

 { \displaystyle
  \begin{eqnarray}
    X & = & \sqrt{a^{2}\cos^{2}{\phi} + b^{2}\sin^{2}{\phi}}\cos{\left( \theta - \gamma_{X} \right)}\\
    Y & = & \sqrt{b^{2}\cos^{2}{\phi} + a^{2}\sin^{2}{\phi}}\sin{\left( \theta - \gamma_{Y} \right)}
  \end{eqnarray}
}

と表せる.ここで,

 { \displaystyle
  \begin{eqnarray}
    \cos{\gamma_{X}} & = & \dfrac{a\cos{\phi}}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{\phi} + b^{2}\sin^{2}{\phi}}}\\
    \sin{\gamma_{X}} & = & \dfrac{b\sin{\phi}}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{\phi} + b^{2}\sin^{2}{\phi}}}\\
    \cos{\gamma_{Y}} & = & \dfrac{b\cos{\phi}}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}{\phi} + a^{2}\sin^{2}{\phi}}}\\
    \sin{\gamma_{Y}} & = & \dfrac{a\sin{\phi}}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}{\phi} + a^{2}\sin^{2}{\phi}}}
  \end{eqnarray}
}

である.

よって, {X, Y} がそれぞれ最大となる時が,求める長方形領域の半分の長さとなるので, {\ell_{x}, \ell_{y}} は,

 { \displaystyle
  \begin{eqnarray}
    \ell_{x} & = & \sqrt{a^{2}\cos^{2}{\phi} + b^{2}\sin^{2}{\phi}}\\
    \ell_{y} & = & \sqrt{b^{2}\cos^{2}{\phi} + a^{2}\sin^{2}{\phi}}
  \end{eqnarray}
}

となる.

C プログラム

後は,この結果をプログラムに落とすだけである.ここでは,以下のような図を考える.

f:id:mathematicsphysical:20170416210842p:plain

この図のように,それぞれの楕円に外接する長方形を計算し,原点から最も遠くなる位置を求める.以下に,プログラムを示す.

これで,図に示した青色の領域を求めることができる.