作業中のメモ

よく「計算機」を使って作業をする．知らなかったことを中心にまとめるつもり．

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楕円が存在する領域

数学 プログラミング

どうも，筆者です．

楕円を覆う領域

今回は，有限個の楕円が平面状に散らばっている状況を考える．この状況において，すべての楕円を含む長方形領域の最小値を求める問題を解く． 図で示すと以下のような長方形領域を求めることになる．

領域の計算方法

計算方法として，以下のような楕円ごとの長方形の領域を考えた．

この図において，楕円の方程式は，

 { \displaystyle
  \begin{equation}
    \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1
  \end{equation}
}

で与えられる．ここで， {0 \leq b \leq a} である．また，媒介変数 {\theta} を用いると，楕円上の点 {(x, y)} は，

 { \displaystyle
  \begin{equation}
    \left\{
    \begin{array}{ccc}
      x & = & a\cos{\theta}\\
      y & = & b\sin{\theta}\\
    \end{array}
    \right.
  \end{equation}
}

となる．

この時，楕円を {\phi} だけ回転させた場合，移動後の点 {(X, Y)} は，回転行列を用いて，

 { \displaystyle
  \begin{eqnarray}
    \left(
    \begin{array}{c}
      X\\
      Y\\
    \end{array}
    \right) & = & \left(
    \begin{array}{cc}
       \cos{\phi} & \sin{\phi}\\
      -\sin{\phi} & \cos{\phi}\\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
      x\\
      y\\
    \end{array}
    \right)\\
    & = & \left(
    \begin{array}{cc}
      \cos{\phi} & \sin{\phi}\\
      -\sin{\phi} & \cos{\phi}\\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
      a\cos{\theta}\\
      b\sin{\theta}\\
    \end{array}
    \right)\\
    & = & \left(
    \begin{array}{c}
      a\cos{\phi}\cos{\theta} + b\sin{\phi}\sin{\theta}\\
      b\cos{\phi}\sin{\theta} - a\sin{\phi}\cos{\theta}\\
    \end{array}
    \right)
  \end{eqnarray}
}

となる．さらに，三角関数の合成を用いて，

 { \displaystyle
  \begin{eqnarray}
    X & = & \sqrt{a^{2}\cos^{2}{\phi} + b^{2}\sin^{2}{\phi}}\cos{\left( \theta - \gamma_{X} \right)}\\
    Y & = & \sqrt{b^{2}\cos^{2}{\phi} + a^{2}\sin^{2}{\phi}}\sin{\left( \theta - \gamma_{Y} \right)}
  \end{eqnarray}
}

と表せる．ここで，

 { \displaystyle
  \begin{eqnarray}
    \cos{\gamma_{X}} & = & \dfrac{a\cos{\phi}}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{\phi} + b^{2}\sin^{2}{\phi}}}\\
    \sin{\gamma_{X}} & = & \dfrac{b\sin{\phi}}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{\phi} + b^{2}\sin^{2}{\phi}}}\\
    \cos{\gamma_{Y}} & = & \dfrac{b\cos{\phi}}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}{\phi} + a^{2}\sin^{2}{\phi}}}\\
    \sin{\gamma_{Y}} & = & \dfrac{a\sin{\phi}}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}{\phi} + a^{2}\sin^{2}{\phi}}}
  \end{eqnarray}
}

である．

よって， {X, Y} がそれぞれ最大となる時が，求める長方形領域の半分の長さとなるので， {\ell_{x}, \ell_{y}} は，

 { \displaystyle
  \begin{eqnarray}
    \ell_{x} & = & \sqrt{a^{2}\cos^{2}{\phi} + b^{2}\sin^{2}{\phi}}\\
    \ell_{y} & = & \sqrt{b^{2}\cos^{2}{\phi} + a^{2}\sin^{2}{\phi}}
  \end{eqnarray}
}

となる．

C プログラム

後は，この結果をプログラムに落とすだけである．ここでは，以下のような図を考える．

この図のように，それぞれの楕円に外接する長方形を計算し，原点から最も遠くなる位置を求める．以下に，プログラムを示す．

これで，図に示した青色の領域を求めることができる．